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无理数的存在是人为因素还是自然界本身就存在的?

无理数在历史上是一个令人震惊的发现。从现在仍然有人问这样的问题,就可以看出这个震惊的余波。

就这个问题本身,回答很明确:无理数是一个客观的存在。是否说它是“自然界本身就存在的”,有点微妙,因为数字不是实物,是一种抽象的概念,你不可能像对待苹果、橘子那样去对待数字。但无论如何,无理数绝对不是人为构造出来的,人的正常思维模式也不会主动想到构造这样的东西,只会在发现之后被逻辑的力量说服而接受它。

历史上,人们发现的第一个无理数是根号2。在此之前,人们先是发现了勾股定理:直角三角形两边的平方和等于弦的平方,a^2 b^2 = c^2。人们立刻就意识到,一个两边长都为1的等腰直角三角形,弦的平方等于2,弦的长度就是根号2。或者说,一个边长为1的正方形的对角线长度就是根号2。

画出根号2在数轴上的位置

在此之前,人们处理的所有的数都或者是整数,或者是两个整数相除,也就是说是有理数。那么问题来了,根号2能不能表示成两个整数相除呢?

仔细思考一下,就会发现答案很明显。假设有两个整数p和q相除等于根号2,也就是说,p^2 = 2*q^2。那么,请问p是一个偶数还是奇数?

如果p是奇数,那么p^2也是奇数。奇数除以2不是整数,但p^2除以2却得到q^2,这是一个整数,自相矛盾,所以p不能是奇数。

那么p是偶数喽?但这样就可以把p写成2k,k是一个整数,然后p^2 = 4*k^2,q^2 = 2*k^2。这样看来,q^2是一个偶数,q必然也是偶数。但是,这样p和q都是偶数,两者有公约数2,我们就可以把p/q这个分数化简,分子分母都除以2,得到新的一组p"和q",对它们再来问上面的问题。但凡是有理数,最终总是能得到一个不可化简的分数,使得分子分母没有公约数。可是对于根号2,这个过程无法结束!

因此,唯一合乎逻辑的结论只能是,根号2不能表示成两个整数相除,也就是说它不是有理数。不是有理数是什么数?那就是无理数了。

这个证明简单明了,任何人看了都会同意。现在,你对无理数的客观性还有疑问吗?

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年至公元前500年间)是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理),即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践,他提出“万物皆为数”的观点:数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。

公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕,却是一场悲剧。
希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽。不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
所以无理数是自然界客观存在的,但是又受到人为因数的主观影响。

无理数这个名称是人定义的,但无理数本身当然是自然界中存在的客观现象,最经典的无理数有两个,一是圆周率,二是自然常数e。在历史上,无理数名字的来源,是个让人悲伤的故事。

在古希腊时代,研究数与自然奥秘的一些人武断的认为,自然界中只存在所谓的自然数和自然数的比值。而无法精确的表示成两个自然数之比的数是根本不存在的,也无法想象会有这样的数存在。这些人组成了一个围绕着数与自然奥秘的类似宗教组织的教派,被称为毕达哥拉斯教派,因为其祖师爷是毕达哥拉斯。而这种思想也正是毕达哥拉斯所倡导的。

他认为自然的奥秘尽在数字之中,认识数字的奥秘就能了解自然,这种思想同时具有一定的科学性和神秘主义色彩,其实广泛的存在于世界各地,比如由于我们的肉眼只能看到五颗行星,因此让七这个数字具有了神秘主义的味道,五颗行星加日月,天上的这七颗星被认为是最重要的。

回到正题,就在这个教派中,有一个成员,毕达哥拉斯的弟子之一,希帕索斯,却意外发现,标准正方形(边长为1)的对角线,无法精确表示为任何自然数的比值。注意,此处的数字1并没有任何单位,它是抽象的数字1。

这个问题的核心其实就是根号2这个数字,不能精确的表示成任何两个自然数的比值,它是无限不循环小数。而任何有限的或者无限的循环小数都可以表示成普通的分数。至于根号2则来自于勾股定理的必然。实际上,早在四千年前的另一个文明——美索不达米亚文明也发现了根号2,并且他们将这个数计算到了小数点后10000位,并将它记录在了石板上!

当然,只靠计算是无法证明根号2是不是无限不循环小数,因为也许循环发生在下一位呢?

所以,希帕索斯是用毕达哥拉斯学派中一种常见证明法,反证法,来证明根号2不可能表示成两个自然数之比。

假设对角线长度为a,且a=q/p,此处的q、p是化为最简分数比后的整数,即假设对角线长度可以表示为两个最简整数之比。即类似2/3这种情况而非4/6这种还可以继续化解的情况,对此,我们将其称为q,p之间互素。

根据勾股定理,1 1=a2=(q/p)2,化简为2p2=q2,从这个算式可以看出,q2是偶数,那么q就只能是偶数,而q、p互素,所以p必须是奇数!

如果q是偶数,即q=2b(b是自然数),带入2p2=q2中,得p2=2b2,那么,可以发现p也一定是偶数,这就与上段结论矛盾嘛。

然而,希帕索斯的发现,当时并没有被公诸于世,他反而先被囚禁后被扔到海里淹死了,至于这是毕达哥拉斯的意思还是他的其它弟子们做的,历史的真相已经难觅。不过,希帕索斯虽然被害,但这个问题和他的证明并未消失,其它同情他遭遇的一些人,最终将这段历史记录了下来,流传到今天,而历史上给根号2这类奇怪的数命名的是鼎鼎大名的达芬奇,他将其命名为无理数,指的是人的无理,以纪念希帕索斯。

本题,涉及自然与思维的关系,属于哲学问题,但我讨厌云里雾里。我的看法三点。

一,数,是测量自然的工具,是简化思维的手段。测量,是一种近似,总会有误差,包括系统误差与随机误差。因此,数不可能100%反映真实存在。

二,数的简单分类。针对不同测量对象与不同的精度要求,数有以下几种类型。

①自然数,包括基数与序数,前者用来做加减乘除等计算,后者用来区别先来后到。

②有理数,包括整数与分数,前者计算范围较宽(有负数),后者计算精度较高。

③无理数,是无限不循环小数,计算精度很高。低阶无理数,诸如:√2, ln2, sin2,高价无理数(超越数),来自级数,诸如:2^¼, e, π。


④实数,包括有理数与无理数,表示质点运动的伸缩规模。

⑤虚数,涉及旋转、矢量、相位、向量、曲率,用来表述质点的扭转幅度。

⑥复数,包括实数与虚数,用来表示质点的运动状态。前者是质点的发展规模,后者是质点的变化规模。

三,数与形,代数与几何,异曲同工,各有巧妙,都是测量自然的近似手段。真实的自然界,不存在几何学上的点、直线、平行、直角、三角形、圆锥曲线......,都是近似处理,都是代换手法。数学思维,是人类最伟大的思维。数学方法,是人类文明进步的法宝。
综上结论:无理数,尽管无法真实表示自然态,但可以满足特定的测量任务。

谢谢邀请。按照我对数学、自然界的理解,无理数的存在是人为因素,也即人认识自然的结果,自然界不存在无理数。原因在于:1.自然界存在是一种自在存在,是以“这一个,哪一个的”样式存在的具体客观存在。无理数是一种自为的关系存在,是人以数学的方式认知、判断、推理自在自然,规定自在对象的抽象理念存在。2.自然界是一种实体存在,无理数是人以人的尺度丈量自然存在的实在性存在。3.无理数存在于人化自然界,是思维给予的。自然界是客观自然显现的,客观自然无无理数存在。

无理数是现行数学公理系统下的必然产物

数学的存在本身是建立在公理系统下的,公理是什么?公理是公认的,但是如果它成为数学家们认为的可能无理数就成了人为设定的了,公理并不是放之四海而皆准的,也就是公认的东西并不都是真理,例如欧氏几何框架下"两点之间,线段最短",然而到了非欧几何却并不成立.

现行的对于数的几个重要公理对于数的定义非常重要,例如对加法1 1=2而产生的5条公理,确立了数字和数字运算的基础,后面数域扩充都保持这种计算规则和特征,这样就导致了数学它是可以追溯到源头的,如果源头的都不成立,那数学大厦都将倒,而数的源头就是那5条理(可以参考我前面的问答:1 1=2需不需要证明),当数学发展到有理数这一层时,万物皆数并不适用了,数的领域必须得扩充了,因为发现了根号2的存在,而且它无法表示两个数的比,这样数学危机就产生了,这就是有名的第一次数学危机,危机的解决是定义无理数,扩充数域而得以解决.危机解决将数学发展推向更高层次,以上这些危机的产生与解决都建立在最源头的数学公理前提下,如果没有公理框架那数学发展可能会朝向另一方向.

试想一下,如果数学在最源头时并不是用十进制,而是8进制,那数学发展是何种情形?我们可以想象一下,它是否会发生数学危机,就是数字不够用的情形呢,答案是肯定的,也就是无论人类在何种公理体系下研究数学,数学的发展必然会出现类似第一次数学危机的事情,也将伴随危机解决和数学的快速发展,非欧几何不也是这样嘛,它并不尊崇欧氏几何的基本公理,但它确实发展磅礴;至于为什么人类会使用十进制而不是其他,这就有待进一步研究了,有人说是因为人类的十个手指,这种说法有点勉强.本人水平有限,也只能说到这了.

当然,如果你不承认数学家们关于数的那几条公理,你也可以建立自己的公理体系,来发展自己的数学世界,说不定也能创造一个全新的数学世界呢!我是学霸数学,专注于数学,欢迎关注!

自然界本无数学,是人为定义的理想模型而已!有理数、无理数也是人为定义的,然后应用于自然界,比如我们定义e米为有理数,那么1米就是无理数。

人类用某古人的臂长定义了基本长度单位米,用1米摆绳的半周期定义了秒(1960年又做了更精确的定义),又用一升水定义了kg的基本单位,然后才有了力的定义牛顿。所以某个物理量的大小是不是有理数,取决于人的定义。

个人倾向于自然界的量是无理数之说,因为所有的有理数量都是理想的,即使现在联合国保存的最标准的尺,最标准的一公斤物块,相信其精确物理量(以定义的单位量为基准)都是无理数。有理数就是个理想的标杆。

所以,即使在理想模型的数学上,无理数的密度也是无限大于有理数的,人类除了定义永远无法在自然界做一个有理数的物理量的物体,并且无法验证,同样也无法验证其物理量是否为无理数。

抛开数学模型,如果世界物质(包括空间)可以无限细分,则自然界是无理的,如果不能无限细分,则是有理的,而这个命题至今没有答案。所以我们只能在人为定义的理想模型上讨论有理数或无理数,而不是在自然界上讨论。

发现和发明本来对应的就是人的意识,我把意识分成三类,一类意识即感应信息,发现就属于这个层次的;二类意识是存储信息,记忆功能;三类意识是对存储信息的链接,整合,系统化和工具化在这个层次。

数学的基础肯定是观念,也就是概念以及符号化都属于三、二类意识的层次。但是最早的和后来的很多数学的内容(数量、图形)都是来自人对世界的感应信息,是发现。感应信息还有一个特征,就是“联系性”、“关联性”,因为感应本身就是一个因为关联产生的内容。区别第一类意识和其它意识一个最简单的方法就是这一点。

也可以说,如果有外星人,他们的符号概念和我们不一样,因为他们的第二三类意识和我们不一样。而第一类感应信息或许因为他们是从另外角度感应的,直接的感应信息也不一样,但感应信息可以变换为我们的。就像我们最早看日升日落的观察,到在月球上看就不一样一样,但感应信息是可以变换后通用的。

所有的数都属于概念,是观念的一种,也就是说是第三类意识的基础构件。但其中都隐含了感应信息,也就是说数的概念是建立在感应信息的基础上的(这个模式类似科学理论的建立),自然数是最明显的建立在感应信息之上的,但仍然是概念的一种,是人类观念上的。无理数更是观念上的。也就是说这些数都不能说是自然界的存在,而是人类对于自然的感应而产生的观念的一种。

人类对感应信息自然有一种思维处理的驱动力,这个思维处理就出现了巫术、宗教、哲学、数学、科学。数学也是对感应处理的结果,而且和巫术、宗教、哲学一样,变成了不再考虑感应信息,只研究思维层面,是思维工具的一种。哲学中的方法论和逻辑学肯定也是思维工具。另外巫术、宗教以及哲学本体论也可以认为是思维工具,但是却去除或较少考虑观念上概念之间的关联,把概念奉为真实存在,并且有的奉为至高无尚。

数学的和哲学方法论逻辑学之所以是可靠的思维工具,就是不仅有观念上的概念,更有概念之间的关联性。这才是可靠的关键。可以与感应信息呈现对应性,可以在这个基础上结合感应信息(经验)发展出科学。

试想,为什么就一定说无理数不存在呢?这是因为事先假定了有理数是自然存在,实际上这个假定没任何理由。宇宙中很多常数反倒是无理数。如果有外星人,他们或许直接通过感应而产生的观念中,我们的无理数是他们的自然存在。

做个总结,所有数都不是真实存在,包括自然数,都是人对感应信息的思维处理的结果。而数学之所以可靠,数的概念本身是一个,更关键是数之间的关联性。如果只认“数”的存在,就会变成宗教。古代毕达哥拉斯定理是概念之间的关系,所以这个没问题,但一旦认定万物皆数,就成为一种宗教观,我想毕达哥拉斯的意思应该是万物皆数与数的关联,这样就没问题了。

这些只要想想二进制和十进制数以及为何能将两种进制变化关联起来就会理解了。

正如“苹果”这个概念表示自然界中的一种水果,但其作为一种精神符号并非存在于自然界,“无理数”作为一种语言符号也同样不是存在于自然界的。但这并不意味着其存在只是一种人为因素而已,因为语言从本质上是为了用于指示自然现象才被发明出来的。

我们应当看到,无理数是数学语言里的一类语言符号。数学语言是一种讲究精确性的科学语言,不同于我们一般所使用的具有较大模糊性的自然语言。语言是一种人类发明的工具,用来帮助人类的意识对应映射到自然现象;简要言之,语言是用来指示自然现象的,但并不是自然现象本身,当然也就不能说是存在于自然界。因此,无理数作为一种语言现象也就不能说是存在于自然界。

但任何语言都会反映自然现象,也即与自然现象具有同构性,是模拟自然现象之间的关系的。可以说,自然语言主要用于直接指示自然现象,而数学等科学语言则主要指示自然现象之间的关系的规律性。

由此可见,像无理数这样的数学语言是被人类发现或者发明的,但也不能说其诞生纯粹是一种人为因素。因为其存在,如果是无法发挥其功能,也即无法真实指向自然界的内在规律的话,便不可能长久以至于流传至今。这说明无理数这样的数学语言确实反映了自然界内在的某种本质规律。

是什么规律呢?就是自然界中的距离或长短之间的比例,有的是可通约的,有的是不可通约的。可通约的关系,我们用有理数来表示;不可通约的关系,我们就用无理数来表示。

我个人的理解是无理数是自然存在的,一个自然界中的物体是做不到绝对精确的测量,只能确定精度,没有任何可测物理量是绝对精确的,就连最小的长度一个普朗克长度都是无理数,许多物理常数都是无理数,包括绝对零度、光速、普朗克常数、但是,如果要把它当成基准,那就是有理数,比如1个普朗克长度、定义绝对零度是0

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